1 月 31 日　∞-自然同型の特徴づけ

$\require{AMSmath}$

14:17 : $\Delta^{n}$ が $\infty$ -圏かどうか迷いましたが，普通に $\Delta^{n} = N([n])$ なので $\infty$ -圏でしたね

15:32 : 自然同型が各点で同型であるとして特徴づけられることの $\infty$ -圏版を追った。 $\mathrm{Mono} \Box \mathrm{InnAno} \subset \mathrm{InnAno}$ だけど，問題になっている主張を示すには $\mathrm{Mono} \Box \{\Lambda_0^{n} \hookrightarrow \Delta^{n}\}$ というクラスに属する射が，特定の "良い" lifting problem に対しては inner fibration に対して LLP をもつ，ということを示せばよい。この "良い" という条件の 1 つには，Joyal extension theorem での「horn の <0,1> 部分が同型」という条件の "pushout product" 版のようなものがあって，この条件は「自然変換が各点で同型」という条件に対応する。これによって，実際に Joyal extension theorem を使ってリフトを作って，そこから元の lifting problem の solution を作ることができる。

超越的な（Zorn の補題を使う）議論によって $\mathrm{Mono} \Box \{\Lambda_0^{n} \hookrightarrow \Delta^{n}\}$ に関する問題を $\mathrm{Cell} \Box \{\Lambda_0^{n} \hookrightarrow \Delta^{n}\}$ に関する問題に帰着できる。
"良い" 条件のうち上で書かなかったもの，つまり四角の図式の下の射 $B \times \Delta^{n} \to S$ というのが射影との合成 $B \times \Delta^{n} \to B \to S$ としてかけるという条件を使うことで，inner fibration $q$ は $\infty$ -圏の間の inner fibration としてもよいことがいえる。
クラス $\mathrm{Cell} \Box \{\Lambda_0^{n} \hookrightarrow \Delta^{n}\}$ に属する射 $i$ は，left horn を pushout してできた射たちの有限回の合成としてかける（ Lemma 4.4.4.7 (01DN)—Kerodon ）。つまり $\mathrm{dom}(i) \subset \mathrm{cod}(i)$ の間は filtration として分割できて，各段階は left horn を pushout してできているということ。
そうすると $i$ が $\infty$ -圏の間の inner fibration $q$ に対して LLP を持つことをいうには，リフトを filtration の各段階に対して帰納的に構成していけばいいことになる。
この各段階での構成は，3. で述べた $i$ の filtration への分解によって，left horn が $q$ に対して LLP を持つことをいう lifting problem に帰着する。inner horn の場合は自明なので $\Lambda_0^{p}$ の拡張を考えればよいわけだが，ここで現れた lifting problem（の四角の図式）は，"良い" 条件のうち上で書いた方により Joyal extension theorem の仮定をみたす，つまり $\Lambda_0^{p}$ の $\Delta^{\{0,1\}}$ への制限が同型射となっている。
よって，これと $q$ が $\infty$ -圏の間の inner fibration だったこと（2. を見よ）と合わせれば，Joyal extension theorem が適用でき，リフトが構成できる。そうして 4. の帰納的構成が遂行できる。