2023-04-20

同一視 1

$\require{AMSmath}$

記法：群 $G$ を対象が 1 つの圏とみなしたものを， $\mathbf{B}G$ と表記する。

$\mathscr{C}$ を（局所小）圏とする。

1.1

$A$ を圏 $\mathscr{C}$ の対象とする。このとき， $A \cong A$ である。すなわち，ある同型射 $a : A \to A$ が存在する。

だが，この同型射 $a$ は 1 つとは限らない。これら全体のなす集合を $\mathrm{Aut}(A)$ と書く。
恒等射 $\mathrm{id}_A$ は同型射である。
また，任意の同型射 $a$ に対して，その逆射 $a^{-1}$ も同型射である。
したがって，集合 $\mathrm{Aut}(A)$ は圏 $\mathscr{C}$ における合成に関して群をなす。
同型射 $a$ が 1 つであることと，群 $\mathrm{Aut}(A)$ が自明群（に同型）であることは同値である。

すなわち，対象 $A$ と $A$ の "同一視の方法" は一般にただ 1 つではなく，それらのデータは群として現れる。 "同一視の方法" がただ 1 つであることと，その群が自明群であることは同値である。

1.2

$A,\ B$ を圏 $\mathscr{C}$ の対象とし， $A \cong B$ と仮定する。すなわち，ある同型射 $f : A \to B$ が存在すると仮定する。

上と同じく，この同型射は 1 つとは限らない。対象がとの 2 つからなり，射が対象の圏における自己同型全体，対象の圏における自己同型全体，対象からへの圏における同型射全体，対象からへの圏における同型射全体すべてからなるような，圏の部分圏をと書く。
- 圏 $\mathrm{Iso}(A, A)$ は $\mathbf{B}\mathrm{Aut}(A)$ と同じである*1。
圏ではすべての射は同型射である。すなわち，圏は亜群 (groupoid) である。圏は，ある群を圏とみなしたと一般には圏同値にならない。
- 圏同値になるためには，例えば，少なくとも集合 $\mathrm{Hom} _ {\mathrm{Iso}(A, B)}(A, A)$ と $\mathrm{Hom} _ {\mathrm{Iso}(A, B)}(A, B)$ の濃度が等しくなければならない。しかし，前合成と後合成を考えることにより，一般に前者より後者の方が濃度が大きくなることがわかる。
同型射がただ 1 つであることと，圏が自明圏に圏同値であることは同値である。
- 注意：自明圏 $\mathbf{1}$ は自明群 $1$ を圏とみなした $\mathbf{B}1$ とも表現できる。2. と比較せよ。
- より強く，同型射がただ 1 つであることと，群がともに自明群であることは同値である。
  - 対偶をとることで示せる。

すなわち，対象 $A$ と $B$ の "同一視の方法" は一般にただ 1 つではなく，それらのデータは亜群として現れる。 "同一視の方法" がただ 1 つであることと，その亜群が自明圏と圏同値になることは同値である。

1.3

1.2 の状況を多対象化する。 $S$ を圏 $\mathscr{C}$ の対象のいくつかの集まりとし， $S$ に属するような圏 $\mathscr{C}$ の任意の 2 つの対象 $A,\ B$ が同型であるとする。

$S$ に属する対象のなす圏 $\mathscr{C}$ の充満部分圏に含まれる最大の亜群 (maximal groupoid)*2 を $\mathrm{Iso}(S)$ と書く。これは 1.2 における圏 $\mathrm{Iso}(A, B)$ にあたる。
1.2 と同様に，圏 $\mathrm{Iso}(S)$ は，ある群 $G$ を圏とみなした $\mathbf{B}G$ と一般には圏同値にならない。
任意のに属する 2 つの対象に対して，同型射がただ 1 つであることと，圏が自明圏に圏同値であることは同値である。
- より強く，任意の $S$ に属する対象 $A$ に対して，群 $\mathrm{Aut}(A)$ が自明群であることとも同値である。

すなわち，1.2 の結論は 2 つの対象の間の "同一視の方法" だけでなく，複数の対象の間の "同一視の方法" に対しても成り立つ。

1.4

1.3 で記述した現象の例として，普遍的対象の一意性について考察する。圏論の一般論から，普遍的対象はある圏における始対象もしくは終対象として記述される。そのため，以下，圏 $\mathscr{C}$ の始対象を考える。 $\mathscr{C}$ の対象 $C$ が始対象であるとは，任意の $\mathscr{C}$ の対象 $A$ に対して，ある一意的な $\mathscr{C}$ の射 $f : C \to A$ が存在することである。

圏 $\mathscr{C}$ の始対象 $C$ は 1 つとは限らない。始対象全体がなす圏 $\mathscr{C}$ の充満部分圏を $\mathrm{Ini}(\mathscr{C})$ と書く。
始対象の定義から，任意の 2 つの始対象に対して次の 2 つが成り立つ。
1. 圏 $\mathscr{C}$ における射 $f : C \to C'$ と $g : C' \to C$ が一意的に存在する。
2. 上の射 $f$ と $g$ は互いに逆射である。すなわち，射 $f,\ g$ はともに同型射である。
条件 b より，圏 $\mathrm{Ini}(\mathscr{C})$ は亜群である。条件 a での一意性と 1.3 より，始対象の間の "同一視の方法" はただ 1 つであり，亜群 $\mathrm{Ini}(\mathscr{C})$ は自明圏 $\mathbf{1}$ と圏同値である。

すなわち，普遍的対象（始対象）の一意性が，（ある圏の中において）それらのなす亜群が自明圏 $\mathbf{1}$ に圏同値であるとして表現されることがわかる。

次回　同一視 2（未完成）

*1:射の集合は集合として全く同じであるが，対象の集合はそれぞれ $\{ A \}$ と $\{ * \}$ であるため，全単射にしかならない。しかし，これはごく些細な違いであるから，"圏同型" と表現するのは大げさだと判断し，「同じ」と書いた。

*2:例えば，Category Theory in Context の Lemma 1.1.13 を参照。

2023-02-02

2 月 1 日

日記

12:38 : Cisinski を読んでいるんですが，平均して 1 時間で 1 ページくらい進んでそうです　単体的集合の組合せ論に関しては Kerodon とかで結構慣れている気がするので，2 章のモデル圏に関することがらが身につけばあとは割と普通に読んでいけるかもしれないです（希望）

17:31 : 久しぶりに加法圏・アーベル圏に触れています。加法圏であることは structure ではなく property なんですね。

2023-02-01

1 月 31 日　∞-自然同型の特徴づけ

日記

$\require{AMSmath}$

14:17 : $\Delta^{n}$ が $\infty$ -圏かどうか迷いましたが，普通に $\Delta^{n} = N([n])$ なので $\infty$ -圏でしたね

15:32 : 自然同型が各点で同型であるとして特徴づけられることの $\infty$ -圏版を追った。 $\mathrm{Mono} \Box \mathrm{InnAno} \subset \mathrm{InnAno}$ だけど，問題になっている主張を示すには $\mathrm{Mono} \Box \{\Lambda_0^{n} \hookrightarrow \Delta^{n}\}$ というクラスに属する射が，特定の "良い" lifting problem に対しては inner fibration に対して LLP をもつ，ということを示せばよい。この "良い" という条件の 1 つには，Joyal extension theorem での「horn の <0,1> 部分が同型」という条件の "pushout product" 版のようなものがあって，この条件は「自然変換が各点で同型」という条件に対応する。これによって，実際に Joyal extension theorem を使ってリフトを作って，そこから元の lifting problem の solution を作ることができる。

超越的な（Zorn の補題を使う）議論によって $\mathrm{Mono} \Box \{\Lambda_0^{n} \hookrightarrow \Delta^{n}\}$ に関する問題を $\mathrm{Cell} \Box \{\Lambda_0^{n} \hookrightarrow \Delta^{n}\}$ に関する問題に帰着できる。
"良い" 条件のうち上で書かなかったもの，つまり四角の図式の下の射 $B \times \Delta^{n} \to S$ というのが射影との合成 $B \times \Delta^{n} \to B \to S$ としてかけるという条件を使うことで，inner fibration $q$ は $\infty$ -圏の間の inner fibration としてもよいことがいえる。
クラス $\mathrm{Cell} \Box \{\Lambda_0^{n} \hookrightarrow \Delta^{n}\}$ に属する射 $i$ は，left horn を pushout してできた射たちの有限回の合成としてかける（ Lemma 4.4.4.7 (01DN)—Kerodon ）。つまり $\mathrm{dom}(i) \subset \mathrm{cod}(i)$ の間は filtration として分割できて，各段階は left horn を pushout してできているということ。
そうすると $i$ が $\infty$ -圏の間の inner fibration $q$ に対して LLP を持つことをいうには，リフトを filtration の各段階に対して帰納的に構成していけばいいことになる。
この各段階での構成は，3. で述べた $i$ の filtration への分解によって，left horn が $q$ に対して LLP を持つことをいう lifting problem に帰着する。inner horn の場合は自明なので $\Lambda_0^{p}$ の拡張を考えればよいわけだが，ここで現れた lifting problem（の四角の図式）は，"良い" 条件のうち上で書いた方により Joyal extension theorem の仮定をみたす，つまり $\Lambda_0^{p}$ の $\Delta^{\{0,1\}}$ への制限が同型射となっている。
よって，これと $q$ が $\infty$ -圏の間の inner fibration だったこと（2. を見よ）と合わせれば，Joyal extension theorem が適用でき，リフトが構成できる。そうして 4. の帰納的構成が遂行できる。

2022-06-26

無限圏の高次の射3

無限圏

前回（無限圏の高次の射2 - 思翠と想華）は右射の空間 $H := \mathrm{Hom} _ X^ {\mathrm{R}}(x,y)$ を定義し、 $H$ における射や左ホモトピーを考察することで、無限圏 $X$ における高次の右射を定義しました。今回は $H$ が Kan 複体であることを示します。