無限圏の高次の射3
前回( 無限圏の高次の射2 - 思翠と想華 )は右射の空間 を定義し、 における射や左ホモトピーを考察することで、無限圏 における高次の右射を定義しました。今回は が Kan 複体であることを示します。
準備
まず、 Kan 複体の定義を書いておきます:
定義 単体的集合 が Kan 複体 であるとは、任意の と任意の射 に対し、 の拡張 が存在する。すなわち、射 であって、 を包含とするとき、 が成り立つものが存在する。
右射の空間 が Kan 複体であることを示すために、1 つの命題を準備します。この命題を示すために、次の定理を用います。
定理1([HTT] Proposition 1.2.4.3.) を無限圏、 を の射とする。このとき、次の 2 条件は同値:
- は同値。
- 任意の と任意の射 で なるものに対し、 の拡張 が存在する。
(1)⇒(2) を示すのは大変らしいので、ここでは認めることにします(いつか記事を書きたいです)。(2)⇒(1) のみを証明します:
証明
- の射 が同値であることを示す。そのためには、 の射 と の 2-単体 で なるものが存在することをいえばよい。
- 条件 (2) より、射 の拡張 が存在する。 とおく。
- 同じく条件 (2) より、射 の拡張 が存在する。このとき、 とおけば となる。
- よって 1. に述べた条件がみたされることがいえたから、 が同値であることがわかった。
上の定理において、 の代わりに (単体的集合 であって各 に対し で、各 に対し面写像 が で、退化写像 が で定まるもの)を考えれば次の定理を得ます。
定理1' を無限圏、 を の射とする。このとき、次の 2 条件は同値:
- は同値。
- 任意の と任意の射 で なるものに対し、 の拡張 が存在する。
証明 定理1 の条件 (2) と定理1' の条件 (2) が同値であることを示せばよい。後者を (2') と書く。同様であるから、 (2)⇒(2') のみを示す:
- 射 で なるものをとる。 の拡張が存在すればよい。
- 各 に対し であるから、 なる射 を定めることができる。
- 区別のために の面写像を のように書くことにする。すると、 である。
- よって条件 (2) より、 の拡張 が得られる。 だから、射 が として定まる。
- が の拡張であることを示す。そのためには、各 に対し であることをいえばよい。
- 計算すると、となる。
- したがって が の拡張であることがわかり、条件 (2') が示せた。
今回用いるのは次の命題です。
命題 を単体的集合とする。このとき、任意の と任意の射 に対して の拡張 が存在すれば、 は Kan 複体である。
証明
- が Kan 複体であることを示すためには、任意の と任意の射 に対して の拡張 が存在することをいえばよいが、仮定より の場合のみを考えればよい。
- 射 の拡張が存在することを示す。 とおく。すると、仮定より定理 1 の条件 (2) がみたされるから、 は同値である。
- よって、定理 1' より の拡張が存在することがいえる。
右射の空間は Kan 複体
前節で準備した命題を用いて次の定理を証明します。
定理2 無限圏 と対象 に対して、右射の空間 は Kan 複体である。
証明
- とおく。前節の命題より、任意の と任意の射 に対して の拡張 が存在することを示せばよい。
- 射 を、各 に対して 、また として定める。
- だから が無限圏であることより、 の拡張 が存在する。
- とおく。このとき、 より である。また、 より、これに繰り返し を適用することで がわかる。
- したがって となり、この から射 が定まる。 が の拡張であることを示すためには、各 に対して が成り立つことを示せばよい。
- 区別のために の面写像を のように書くことにすると、 となり、 が の拡張であることがわかった。
次回
次回は、今回証明した右射の空間が Kan 複体であることを用いて、高次右射の合成と逆射について考察しようと思います。