無限圏の高次の射3

前回( 無限圏の高次の射2 - 思翠と想華 )は右射の空間  H := \mathrm{Hom} _ X^ {\mathrm{R}}(x,y) を定義し、  H における射や左ホモトピーを考察することで、無限圏  X における高次の右射を定義しました。今回は  H が Kan 複体であることを示します。

 \require{AMSmath}

準備

まず、 Kan 複体の定義を書いておきます:

定義 単体的集合  XKan 複体 であるとは、任意の  0 \leq i \leq n と任意の射  f : \Lambda _ i^ n \to X に対し、  f の拡張  h : \Delta^ n \to X が存在する。すなわち、射  h : \Delta^ n \to X であって、  \iota : \Lambda _ i^ n \to \Delta^ n を包含とするとき、  f = h \circ \iota が成り立つものが存在する。

右射の空間  H が Kan 複体であることを示すために、1 つの命題を準備します。この命題を示すために、次の定理を用います。

定理1([HTT] Proposition 1.2.4.3.)  X を無限圏、  \phi \in X _ 1 X の射とする。このとき、次の 2 条件は同値:

  1.  \phi は同値。
  2. 任意の  n \geq 2 と任意の射  f : \Lambda _ 0^ n \to X f| _ {\Delta^{\{0,1\}}} = \phi なるものに対し、  f の拡張  h : \Delta^ n \to X が存在する。

(1)⇒(2) を示すのは大変らしいので、ここでは認めることにします(いつか記事を書きたいです)。(2)⇒(1) のみを証明します:

証明

  1.  X の射  \phi : x \to y が同値であることを示す。そのためには、 X の射  \psi : y \to x X の 2-単体  \sigma, \tau \in X _ 2 \sigma = (\psi,\ \mathrm{id} _ x,\ \phi),\ \tau = (\phi,\ \mathrm{id} _ y,\ \psi) なるものが存在することをいえばよい。
  2. 条件 (2) より、射  \Lambda _ 0^ 2 \xrightarrow{(-,\ \mathrm{id} _ x,\ \phi)} X の拡張  \sigma : \Delta^ 2 \to X が存在する。 \psi := d _ 0^ 2(\sigma) とおく。
  3. 同じく条件 (2) より、射  \Lambda _ 0^ 3 \xrightarrow{(-,\ s _ 0 \phi,\ s _ 1 \phi,\ \sigma)} X の拡張  \rho : \Delta^ 3 \to X が存在する。このとき、  \tau := d _ 0^ 3(\rho) とおけば  \tau = (\phi,\ \mathrm{id} _ y,\ \psi) となる。
  4. よって 1. に述べた条件がみたされることがいえたから、  \phi が同値であることがわかった。

上の定理において、  X の代わりに  X^{\mathrm{op}} (単体的集合  X^ {\mathrm{op}} : \Delta^ {\mathrm{op}} \to \mathrm{Set} であって各  n \geq 0 に対し  (X^ {\mathrm{op}}) _ n := X _ n で、各  0 \leq i \leq n に対し面写像  d _ i^ n : (X^ {\mathrm{op}}) _ n \to (X^ {\mathrm{op}}) _ {n-1} d _ i^ n := d _ {n-i}^ n : X _ n \to X _ {n-1} で、退化写像  s _ i^ n : (X^ {\mathrm{op}}) _ n \to (X^ {\mathrm{op}}) _ {n+1} s _ i^ n := s _ {n-i}^ n : X _ n \to X _ {n+1} で定まるもの)を考えれば次の定理を得ます。

定理1'  X を無限圏、  \phi \in X _ 1 X の射とする。このとき、次の 2 条件は同値:

  1.  \phi は同値。
  2. 任意の  n \geq 2 と任意の射  f : \Lambda _ n^ n \to X f| _ {\Delta^{\{n-1,n\}}} = \phi なるものに対し、  f の拡張  h : \Delta^ n \to X が存在する。

証明 定理1 の条件 (2) と定理1' の条件 (2) が同値であることを示せばよい。後者を (2') と書く。同様であるから、 (2)⇒(2') のみを示す:

  1.  f : \Lambda _ n^ n \to X f| _ {\Delta^{\{n-1,n\}}} = \phi なるものをとる。  f の拡張が存在すればよい。
  2.  0 \leq j \lt n に対し  f _ {n-1}(\delta _ j^ n) \in X _ {n-1} = (X^ {\mathrm{op}}) _ {n-1} であるから、  \widetilde{f} = (-,\ f _ {n-1}(\delta _ {n-1}^ n),\ \ldots,\ f _ {n-1}(\delta _ 0^ n)) なる射  \widetilde{f} : \Lambda _ 0^ n \to X^{\mathrm{op}} を定めることができる。
  3. 区別のために  X^ {\mathrm{op}} の面写像 \widetilde{d} _ i^ n のように書くことにする。すると、
     \widetilde{f}| _ {\Delta^{\{0,1\}}} \\ = \widetilde{d} _ 2^ 2 \widetilde{d} _ 3^ 3 \cdots \widetilde{d} _ {n-1}^ {n-1} \widetilde{d} _ n^ n (\widetilde{f}) \\ = \widetilde{d} _ 2^ 2 \widetilde{d} _ 3^ 3 \cdots \widetilde{d} _ {n-1}^ {n-1}(\widetilde{f} _ {n-1}(\delta _ 0^ n))\ \ (\because\ \mathrm{米田の補題}) \\ = \widetilde{d} _ 2^ 2 \widetilde{d} _ 3^ 3 \cdots \widetilde{d} _ {n-1}^ {n-1}(f _ {n-1}(\delta _ 0^ n)) \ \ (\because\ \widetilde{f} \mathrm{の定義}) \\ = d _ 0^ 2 d _ 0^ 3 \cdots d _ 0^ {n-1} d _ 0^ n(f)\ \ (\because\ X^ {\mathrm{op}} \mathrm{における面写像の定義}) \\ = f| _ {\Delta^{\{n-1,n\}}} \\ = \phi
    である。
  4. よって条件 (2) より、  \widetilde{f} の拡張  \widetilde{h} : \Delta^ n \to X^ {\mathrm{op}} が得られる。  (X^ {\mathrm{op}}) _ n = X _ n だから、射  h : \Delta^ n \to X h _ n (\mathrm{id} _ {[n]}) := \widetilde{h} _ n(\mathrm{id} _ {[n]}) として定まる。
  5.  h f の拡張であることを示す。そのためには、各  0 \leq j \lt n に対し  h _ {n-1}(\delta _ j^ n) = f _ {n-1}(\delta _ j^ n) であることをいえばよい。
  6. 計算すると、
     h _ {n-1}(\delta _ j^ n) \\ = d _ j^ n(h _ n (\mathrm{id} _ {[n]}))\ \ (\because\ \mathrm{米田の補題}) \\ =  d _ j^ n(\widetilde{h} _ n (\mathrm{id} _ {[n]})) \\ = \widetilde{d} _ {n-j}^ n(\widetilde{h} _ n(\mathrm{id} _ {[n]}))\ \ (\because X^ {\mathrm{op}} \mathrm{における面写像の定義}) \\ = \widetilde{h} _ n(\delta _ {n-j}^ n) \ \ (\because\ \mathrm{米田の補題}) \\ = \widetilde{f} _ n(\delta _ {n-j}^ n) \\ = f _ {n-1} (\delta _ j^ n) \ \ (\because\ \widetilde{f} \mathrm{の定義})
    となる。
  7. したがって  h f の拡張であることがわかり、条件 (2') が示せた。

今回用いるのは次の命題です。

命題  X を単体的集合とする。このとき、任意の  0 \lt i \leq n と任意の射  f : \Lambda _ i^ n \to X に対して  f の拡張  h : \Delta^ n \to X が存在すれば、  X は Kan 複体である。

証明 

  1.  X が Kan 複体であることを示すためには、任意の  0 \leq i \leq n と任意の射  f : \Lambda _ i^ n \to X に対して  f の拡張  h : \Delta^ n \to X が存在することをいえばよいが、仮定より  i = 0 の場合のみを考えればよい。
  2.  f : \Lambda _ 0^ n \to X の拡張が存在することを示す。 \phi := f| _ {\Delta^{\{0,1\}}} とおく。すると、仮定より定理 1 の条件 (2) がみたされるから、  \phi は同値である。
  3. よって、定理 1' より  f の拡張が存在することがいえる。

右射の空間は Kan 複体

前節で準備した命題を用いて次の定理を証明します。

定理2 無限圏  X と対象  x, y \in X _ 0 に対して、右射の空間  \mathrm{Hom} _ X^ {\mathrm{R}}(x,y) は Kan 複体である。

証明

  1.  H := \mathrm{Hom} _ X^ {\mathrm{R}}(x,y) とおく。前節の命題より、任意の  0 \lt i \leq n と任意の射  f : \Lambda _ i^ n \to H に対して  f の拡張  h : \Delta^ n \to H が存在することを示せばよい。
  2.  \widetilde{f} : \Lambda _ i^ {n+1} \to X を、各  0 \leq j \lt n,\ j \neq i に対して  \widetilde{f} _ n(\delta _ j^ n) := f _ {n-1}(\delta _ j^ n) \in H _ {n-1} \subset X _ n 、また  \widetilde{f} _ n(\delta _ n^ n) = \mathrm{id} _ x = s _ 0^ {n-1} \cdots s _ 0^ 0 (x) \in X _ n として定める。
  3.  0 \lt i \lt n+1 だから  X が無限圏であることより、  \widetilde{f} の拡張  \widetilde{h} : \Delta^ {n+1} \to X が存在する。
  4.  x := \widetilde{h} _ {n+1} (\mathrm{id} _ {[n+1]}) とおく。このとき、  d _ {n+1}^ {n+1}(x) = \widetilde{h} _ n(\delta _ {n+1}^ {n+1}) = \widetilde{f} _ n(\delta _ {n+1}^ {n+1}) = \mathrm{id} _ x より  \widetilde{h}| _ {\Delta^{\{0,\ldots,n\}}} = \mathrm{id} _ x である。また、  d _ 0^ {n+1}(x) = \widetilde{f} _ n(\delta _ 0^ {n+1}) より、これに繰り返し  d _ 0 を適用することで  \widetilde{h}| _ {\Delta^ {\{n+1\}}} = y がわかる。
  5. したがって  x \in H _ n となり、この  x から射  h : \Delta^ n \to H が定まる。 h f の拡張であることを示すためには、各  0 \leq j \lt n,\ j \neq i に対して  h _ {n-1}(\delta _ j^ n) = f _ {n-1}(\delta _ j^ n) が成り立つことを示せばよい。
  6. 区別のために  H の面写像 \widetilde{d} _ i^ n のように書くことにすると、
     h _ {n-1}(\delta _ j^ n) \\ = \widetilde{d} _ j^ n(h _ n(\mathrm{id} _ {[n]}))\ \ (\because\ \mathrm{米田の補題}) \\ = \widetilde{d} _ j^ n(x)\ \ (\because\ h \mathrm{の定義}) \\ = d _ j^ {n+1}(x) \\ = \widetilde{h} _ n(\delta _ j^ {n+1})\ \ (\because \mathrm{米田の補題}) \\ = \widetilde{f} _ n(\delta _ j^ {n+1}) \\ = f _ {n-1}(\delta _ j^ n)\ \ (\because \widetilde{f} \mathrm{の定義})
    となり、  h f の拡張であることがわかった。

次回

次回は、今回証明した右射の空間が Kan 複体であることを用いて、高次右射の合成と逆射について考察しようと思います。